1. 集合

术语

集合构造符号（Set-builder notation） “集合构造符号”或“集合描述符号”。这种符号用于明确地描述一个集合的所有元素或者元素的某种特定性质。例如，一个集合可以用集合构造符号来表示所有满足特定条件的元素。这是一种非常紧凑和表达力强的方式来定义集合。

当且仅当（if and only if（$iff$）） 在数学和逻辑中是 "if and only if" 的缩写，它用于表示两个命题之间的双向逻辑等价关系。当你说 "A iff B"，你的意思是 "A 如果且仅当 B"，这意味着 A 是真的当且仅当 B 也是真的，反之亦然。

换句话说，"A iff B" 等价于两个陈述："如果 A 则 B" 和 "如果 B 则 A"。这是一个非常强的陈述，因为它不仅要求 A 导致 B，还要求 B 导致 A。在数学证明中，这个词经常出现，因为它指明了两个命题或数学表达式在逻辑上是完全相等的。

不相交集合（Disjoint Sets） 指的是两个集合没有任何共同元素的情况。

补集（Complement） 指的是在某个全集中，不属于某个特定集合的所有元素构成的集合。

并集（Union）。

交集（Intersection）。

单元素集合（Singleton set）。单元素集合。单元素集合是一个只包含一个元素的集合。 全集（Universal set）。

$\{∅, a, b\}$ 和 $\{a, b\}$ 的区别

$\{∅, a, b\}$ 和 $\{a, b\}$ 之间的主要区别在于集合中元素的存在。

$\{∅, a, b\}$：这个集合有三个元素，其中一个是空集 $(∅)$，另外两个是 $a$ 和 $b$。空集是一个特殊的集合，它没有任何元素。在这个上下文中，空集被视作一个元素。
$\{a, b\}$：这个集合只有两个元素，$a$ 和 $b$。

所以，关键的区别是第一个集合包含空集作为一个独立的元素，而第二个集合没有包含空集。在集合论中，空集被认为是一个合法的元素，可以包含在其他集合中。

集合 $\{∅, a, b\}$ 和 $\{a, b\}$ 的子集 (subset)

对于集合 $\{∅, a, b\}$，它的子集包括：
- 空集：$\{\}$ 或写作 $\{∅\}$
- 只包含 $a$ 的集合：$\{a\}$
- 只包含 $b$ 的集合：$\{b\}$
- 只包含空集的集合：$\{∅\}$
- 包含 $a$ 和 $b$ 的集合：$\{a, b\}$
- 包含 $a$ 和空集的集合：$\{∅, a\}$
- 包含 $b$ 和空集的集合：$\{∅, b\}$
- 包含 $a$、$b$ 和空集的集合：$\{∅, a, b\}$
因此，$\{∅, a, b\}$ 有 8 个子集。 2. 对于集合 $\{a, b\}$，它的子集包括：
- 空集：$\{∅\}$ 或写作 $\{\}$
- 只包含 $a$ 的集合：$\{a\}$
- 只包含 $b$ 的集合：$\{b\}$
- 包含 $a$ 和 $b$ 的集合：$\{a, b\}$
因此，$\{a, b\}$ 有 4 个子集。

每个集合包括空集和它本身作为子集。对于集合 $\{∅, a, b\}$，由于它包含一个额外的元素（空集），所以它有更多的子集。

$\{\}$ 和 $\{∅\}$ 之间的区别

$\{\}$ 和 $\{∅\}$ 之间的区别非常关键，并且在数学和集合论中是基础性的：

空集（Empty set） $\{\}$：这是一个不包含任何元素的特殊集合。它是所有集合的子集，也是集合论中唯一一个没有元素的集合。在数学符号中，空集通常用 $\{\}$ 或者符号 $\{∅\}$ 表示。
包含空集的集合 $\{∅\}$：这个集合有一个元素，而这个元素就是空集。换句话说，它是一个包含一个元素（这个元素恰好是没有任何元素的集合）的集合。这使得 $\{∅\}$ 和空集 $\{\}$ 是完全不同的：$\{∅\}$ 是一个非空集合，因为它包含一个元素（即空集），而 $\{\}$ 是一个空集合，因为它不包含任何元素。

所以，简单来说， $\{\}$ 是一个完全空的集合，而 $\{∅\}$ 是一个包含一个元素（空集本身）的集合。这是集合论中非常重要的区别。

有限集合（finite set）和无限集合（infinite set）

"有限集合"（finite set）和 "无限集合"（infinite set）是集合论中两个基本的概念。

有限集合：一个集合如果包含的元素数量是固定的且可以被一一列举出来，那么这个集合就是有限集合。换句话说，如果你可以数出集合中有多少个元素，并且这个数字是一个具体的整数，那么这个集合就是有限的。例如，集合 $\{1, 2, 3\}$ 是一个有限集合，因为它只包含三个元素。
无限集合：与有限集合相对，如果一个集合包含的元素数量是无限的，那么这个集合就是无限集合。在这种集合中，元素的数量不是一个固定的整数，而是无穷多。例如，自然数集合 $\{1, 2, 3, 4, ...\}$ 是一个无限集合，因为它包含无限多个元素。

总的来说，区分有限集合和无限集合的关键在于元素的数量是否可以被确定为一个具体的整数。有限集合的元素数量是确定的，而无限集合的元素数量是无限的。

罗素悖论（Russell's Paradox）

罗素悖论（Russell's Paradox）是一个著名的集合论悖论，由哲学家和数学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell）在1901年发现。这个悖论挑战了朴素集合论（naive set theory）的基础，并且对于后来的数学和逻辑学领域产生了深远的影响。

悖论的描述如下：

考虑所有不包含自身作为元素的集合的集合。我们可以将这个集合称为 $R$。现在问一个问题：$R$ 是否包含自己作为一个元素？

如果 $R$ 包含自己作为一个元素，根据 $R$ 的定义（所有不包含自身作为元素的集合），它就不应该包含自己。
但是，如果 $R$ 不包含自己作为一个元素，根据 $R$ 的定义，它应该包含自己。

这就形成了一个悖论：$R$ 既不可以包含自己，也不可以不包含自己。

罗素悖论揭示了朴素集合论中的自指问题和集合定义的问题。为了解决这个悖论，数学家们发展了更加精确和严格的集合论系统，如ZF集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory）和 NBG 集合论（von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory）。这些新的集合论系统通过严格的公理化方法来避免类似的悖论。

通过递归定义集合（Describing sets by recursion）

通过递归定义集合的三个步骤：

基础步骤（Basis step）：这一步要求指定集合 $S$ 中的一个或多个初始元素。这些元素是集合定义的出发点。
递归步骤（Recursive step）：这一步提供一条或多条规则来基于已经存在的元素构造集合 $S$ 的新元素。这些规则定义了如何从已知元素得到新元素。
排除规则（Exclusion rule）：这一步规定集合 $S$ 仅由基础步骤指定的元素和递归步骤反复应用产生的元素组成。除此之外，没有其他元素在集合 $S$ 中。这个步骤通常是隐含的，而不是显式说明。

这种定义方法常用于定义无限集合，例如自然数集合，其中基础步骤可以确定最小的自然数（通常是 0 或 1），递归步骤可以定义如何从一个自然数得到下一个自然数（例如加一），排除规则确保了集合中不会包含任何不符合这些步骤产生的元素。

特定数学集合的符号解释

实数集 $\mathbb{R}$：包括所有有理数和无理数，是数线上的所有数。
正实数集 $\mathbb{R}^+$：包括所有正的实数。
负实数集 $\mathbb{R}^-$：包括所有负的实数。

包含 0 的正实数集 $\mathbb{R}^+_0$ 或正有理数集 $\mathbb{Q}^+_0$：包括 0 和所有正实数或正有理数。
包含 0 的负实数集 $\mathbb{R}^-_0$ 或负有理数集 $\mathbb{Q}^-_0$：包括 0 和所有负实数或负有理数。

自然数集 $\mathbb{N}$：通常指从 1 开始的正整数集合 $\{1, 2, 3, ...\}$。在一些数学定义中，自然数集合也包括 0，即 $\{0, 1, 2, 3, ...\}$。

有理数集 $\mathbb{Q}$：包括所有可以表示为两个整数比例（分数形式）$a/b$ 的数，其中 $a$ 是整数，$b$ 是非零整数。

无理数集 $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$：实数集中除去有理数后的数集，包括所有无理数。

整数集 $\mathbb{Z}$：包括所有正整数、负整数及 0。
正整数集 $\mathbb{Z}^+$ 或 $\mathbb{N}^+$：表示不包括 0 的所有正整数。
负整数集 $\mathbb{Z}^-$：包括所有负整数。
包括 0 的正整数集 $\mathbb{Z}^+_0$ 或自然数集 $\mathbb{N}_0$：正整数集合加上 0。

复数集 $\mathbb{C}$：包括所有形式为 $a + bi$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是满足 $i^2 = -1$ 的虚数单位。

质数集 $\mathbb{P}$：包括所有只有 1 和自身为正因数的自然数。

域 $\mathbb{F}$：通常用于表示具有加减乘除运算定义的数学结构，特别是在讨论有限域或代数结构时使用。

四元数集 $\mathbb{H}$：在不同的上下文中表示不同的概念，比如四元数或上半平面集合等。

模 $n$ 同余类集合 $\mathbb{Z}_n$：用于数论中，表示整数除以 $n$ 的余数形成的集合。

有限域 $\mathbb{F}_p$：在代数和数论中使用的有限集合，其中 $p$ 是素数，用于定义有限数的代数结构。

关于子集的符号

$\subseteq$ : “是……的子集”或“包含于”。如果集合 $A$ 的所有元素都是集合 $B$ 的元素，那么我们说 $A$ 是 $B$ 的子集，记作 $A \subseteq B$。

$\subset$ : 有时用来表示真子集或严格子集（proper subset）。如果 $A$ 是 $B$ 的子集，并且 $A$ 不等于 $B$（即 $A$ 中至少有一个元素不在 $B$ 中），那么 $A$ 是 $B$ 的真子集，记作 $A \subset B$。但在某些文献中，$\subset$ 也被用来表示普通子集，这可能导致混淆。（反正在这个科目里, $\subset$ 表示真子集）

$\subsetneq$ : 这个符号通常用来表示“是……的严格子集”或“是……的真子集”。如果集合 $A$ 是集合 $B$ 的严格子集，那么集合 $A$ 包含在集合 $B$ 中，并且 $A$ 不等于 $B$，即 $A$ 有至少一个元素不在 $B$ 中。这时我们写作 $A \subsetneq B$。

$\nsubseteq$ : “不是……的子集”。如果集合 $A$ 至少有一个元素不在集合 $B$ 中，那么我们说 $A$ 不是 $B$ 的子集，记作 $A \nsubseteq B$。

$\supseteq$ : “包含”或“是……的超集”（superset）。如果 $B \subseteq A$，则 $A$ 包含 $B$ 或者说 $A$ 是 $B$ 的超集。

$\supset$ : 有时用来表示“真超集”或“严格超集”（proper superset）。如果 $A$ 包含 $B$ 且 $A$ 不等于 $B$，则 $A$ 是 $B$ 的真超集。

$\not\supseteq$ : “不包含”。如果集合 $A$ 不包含集合 $B$（即至少有一个 $B$ 的元素不在 $A$ 中），则 $A$ 不是 $B$ 的超集。

$\in$ : “是……的元素”（element of）。如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素，我们写作 $a \in A$。

$\notin$ : “不是……的元素”。如果 $a$ 不是集合 $A$ 的元素，我们写作 $a \notin A$。

这些符号是数学符号体系中定义集合关系的标准部分，用于描述集合之间的包含关系。

幂集（Power set）

幂集（Power Set）是数学中一个重要的概念。给定任何集合 $S$，$S$ 的幂集是 $S$ 的所有可能子集的集合，包括空集和 $S$ 本身。幂集通常用符号 $P(S)$、$2^S$ 或者 $\mathcal{P}(S)$ 来表示。

如果集合 $S$ 有 $n$ 个元素，那么它的幂集将包含 $2^n$ 个元素。这是因为每个元素可以选择是否在一个特定的子集中出现，独立于其他元素的选择，所以有两种选择（在或不在），对于 $n$ 个元素就有 $2^n$ 种可能的组合。

例如，如果有一个集合 $S = \{a, b\}$，那么它的幂集 $P(S)$ 将包含以下子集：

空集：$\{\}$
只包含 'a' 的集合：$\{a\}$
只包含 'b' 的集合：$\{b\}$
包含 'a' 和 'b' 的集合：$\{a, b\}$

所以，$P(S) = \{\{\}, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}$。这个幂集包含 4（即 $2^2$）个元素，因为原始集合 $S$ 有 2 个元素。幂集的概念在数学的多个分支中都非常重要，包括代数、拓扑学、逻辑和计算机科学。

集合运算（Set operations）

差集（Difference）: 如果有两个集合 $A$ 和 $B$，那么 $A$ 和 $B$ 的差集由所有属于 $A$ 但不属于 $B$ 的元素组成。差集通常写作 $A - B$ 或 $A \setminus B$。例如，如果 $A = \{4, 7, 8\}$ 和 $B = \{10, 4, 9\}$，那么 $A - B = \{7, 8\}$，$B - A = \{10, 9\}$

绝对补集（Absolute Complement）: 绝对补集，通常只称为补集，是指相对于一个全集 $U$ (全集是所有相关元素的集合), 集合 $A$ 的补集包含了所有属于全集 $U$ 但不属于 $A$ 的元素。补集写作 $A'$ 或 $\overline{A}$ 或 $U - A$，如果全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 和 $A = \{1, 2, 3\}$，那么 $\overline{A} = \{4, 5\}$

集合操作法则

支配律（Domination Law）: 这是法则表明一个集合和它的全集（通常是指包含所有可能元素的集合）或空集（一个不包含任何元素的集合）进行并集或交集操作时，结果是全集或空集。例如，对于任何集合 $A$ 和全集 $U$，有 $A \cup U = U$ 和 $A \cap ∅ = ∅$。
交换律（Commutative Law）: 这个法则适用于集合的并集和交集操作，说明了操作的顺序不会影响结果。也就是说，对于任何集合 $A$ 和 $B$，有 $A \cup B = B \cup A$ 和 $A \cap B = B \cap A$。
结合律（Associative Law）: 这个法则指出，当对多个集合进行并集或交集操作时，无论如何分组这些集合，结果都是一样的。例如，对于任何集合 $A$、$B$ 和 $C$，有 $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ 和 $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$。我们可以不用考虑具体的分组方式，直接写出多个集合的并集或交集。例如，直接写 $A \cap B \cap C \cap D \cap E$ 表示这五个集合的交集，而不用担心先交哪些集合。类似地，我们可以使用符号 $\bigcap_{i=1}^n A_i$ 表示从 $A_1$ 到 $A_n$ 这 $n$ 个集合的交集。
幂等律（Idempotent Law）: 这个法则说明了一个集合与其自身进行并集或交集操作，结果仍然是那个集合。也就是说，对于任何集合 $A$，有 $A \cup A = A$ 和 $A \cap A = A$。
分配律（Distributive Law）: 这个法则是关于并集和交集操作如何相互分配的。它表明一个集合与其他集合的并集的交集等于该集合与这些集合各自交集的并集，反之亦然。例如，对于任何集合 $A$、$B$ 和 $C$，有 $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ 和 $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$。

这些法则在处理集合操作时非常有用，可以帮助简化表达式和解决问题。